Về bài giảng LỊCH SỬ TOÁN HỌC

I.   LỊCH SỬ LƯỢNG GIÁC HỌC

Cũng như mọi khoa học và các phân môn khác của toán học, lượng giác học ra đời và phát triển do  những nhu cầu của đời sống.

Nảy sinh từ sự cần thiết phải đo lại ruộng đất sau những trận lụt hàng năm ở sông Nin, hình học thời cổ Ai Cập cách đây 4000 năm đã đạt tới một trình độ đáng lưu ý. Nó cũng đã được ứng dụng vào việc xây dựng Kim Tự Tháp, một kỳ quan của thế giới. Với sự phát triển của hình học, lượng giác học đã hình thành. Trong những tài liệu toán học của người cổ Ai Cập còn thấy cả những yếu tố tiền thân cảu lượng giác học, chẳng hạn tỉ số những độ dài của những đoạn thẳng ở những hình chóp.

Ở Trung Hoa, những kiến thức hình học và lượng giác cũng đã nảy nở sớm. Ngay từ khoảng năm 1100 trước công lịch người ta đã tạo những góc vuông bằng cách dùng tam giác có các cạnh 3, 4, 5 đơn vị, đã xác định chiều cao nhờ đo bóng, đã tính chiều sâu và  khoảng cách nhờ những tam giác vuông. Tiếc rằng nền toán học sớm của Trung Quốc còn để lại ít dấu vết vì tất cả những sách và tài liệu văn hoá của nước này đã bị Tần Thủy Hoàng ra lệnh thiêu hủy.

So với toán học Ai cập thì toán học Babilon, trong đó có hình học và lượng giác, đã đạt tới một trình độ cao hơn. Hiện nay còn giữ lại được những tài liệu về những vấn đề toán học khoảng 5000 năm về trước. Ở Mêsôpôtami, một vùng nằm giữa sông Ơphơrát và sông Tigơrơ, do phải xây dựng những con đê phục vụ nông nghiệp, người ta phải tính độ dốc của thành đê và chiều rộng của mặt đê. Trong những tính toán này, tỉ số độ dài của những đoạn thẳng đóng một vai trò quan trọng.

Những vấn đề nảy sinh trong thực tế đã dẫn tới những kiến thức toán học. Sự tỉ lệ của các cạnh tương ứng trong những tam giác đồng dạng và định lí Pitago đã được phát hiện. Toán học Babilon củng đã liên hệ chặt chẽ với thiên văn học. Mặc dầu thiên văn học Babilon thời đó liên quan nhiều với mê tín dị đoan nhưng củng đã đạt được một số kiến thức thiên văn thật sự . Những quan sát hàng nhiều trăm năm đã cho thấy tính chu kì của những hiện tượng trong bầu trời, đặc biệt là sự lặp lại một cách có quy luật của hiện tượng nhật thực và nguyệt thực. Hiện vẫn còn giữ lại được những bảng tính những quá trình thiên văn có tính chu kì. Nếu biểu thị những giá trị số này trong một hệ trục toạ độ (điều này thiên văn học thời đó chưa làm) thì được một đường sin.

Khoảng năm 1900 năm trước Công Nguyên, những nước nội địa như Ai Cập và Mêsôpôtami đã không còn tạo được những điều kiện thuận lợi nhất cho kinh tế và khoa học nữa. Vai trò này đã chuyển sang những nước ở ven biển do sự phát triển của ngành đóng tàu.

Nhờ liên hệ mật thiết với Mêsôpôtami và Ai Cập, toán học Hy Lạp đã tiếp nhận rất nhiều công trình khoa học và đã đi tới những nhận thức mới. Talét (624-548 trước công lịch) đã đo chiều cao của những cái tháp bằng cách đo bóng của chúng vào lúc bóng của ông vừa đúng bằng bản thân ông. Ông củng đã tính khoảng cách từ tàu thuỷ đến cảng nhờ những tam giác đồng dạng. Về sau toán học Hy Lạp đã phát triển đến một trình độ đáng ngạc nhiên. Tuy nhiên dần dần nó rơi vào ảnh hưởng của triết học duy tâm, đặc biệt là của trường phái Pờlatông và do đó bị đứt liên hệ với thực tế, trong đó có lượng giác học.

Vào những thế kỉ cuối trước công lịch, yêu cầu đối với khoa trắc địa tăng lên. Những sự đo đạc này thúc đẩy khoa thiên văn. Do đó lượng giác học, với tư cách là công cụ toán học quan trọng, củng có những tiến bộ.

Aritxtacốt (khoảng  năm 270 trước Công Nguyên) đã thử đo tỉ số khoảng cách trái đất-mặt trăng với khoảng cách trái đất-mặt trời theo con đường lượng giác bằng cách đo góc giữa mặt trăng, trái đất và mặt trời lúc bán nguyệt thực. Do dụng cụ thời đó chưa được tốt, ông nhận được tỉ số 1:19 trong khi giá trị đúng là 1:370.

Việc biến đổi lượng giác có sử dụng các tỉ số sin, cosin, tan và cot ở tam giác vuông đã được những nhà học giả Ả-rập tiến hành vào thế kỉ thứ 9. Trong khi ở châu Âu khoa học bị kìm hãm do ảnh hưởng của nhà thờ Giatô giáo thì nền văn hoá Ảrập nở rộ, trong đó toán học đặc biệt là đại số và lượng giác rất được khuyến khích phát triển. Abu Nát (khoảng năm 1000) đã tìm ra định lí hàm số sin trong lượng giác phẳng. Át-Tút (1201-1274) là người đầu tiên đã tập hợp tất cả những thành tựu của lượng giác học thành một toà lâu đài hoàn chỉnh. Người ta đã tính được cả những bảng thiên văn và lượng giác rất phức tạp, chẳng hạn Ulúc Béc (1392-1449) đã lập bảng hàm số lượng giác với độ chính xác tới 17 chữ số thập phân.

Lượng giác học và thiên văn học Ấn Độ củng đã đạt tới một trình độ cao tương tự.

Đến thế kỉ 15 toán học châu Âu đuổi kịp và vượt nền toán học cổ Hy Lạp và La Mã ít nhất là ở một số bộ phận. Những kết quả mới đã đạt được là do đời sống xã hội đã đặt ra những vấn đề mà giải quyết chúng đòi hỏi phải sử dụng những phương pháp toán học mới. Điều này củng xảy ra cả trong lượng giác học.

Trong xã hội phong kiến đã phát triển một giai cấp mới, giai cấp tư sản. Giai cấp này khuyến khích thương mại, mở rộng thị trường ở hải ngoại. Đường biển đến Ấn Độ và một châu mới đã được phát hiện. Tàu thuyền đi lại trên biển cả đòi hỏi một trình độ cao về thiên văn học và lượng giác học.

Cả thiên văn học củng đặt ra cho lượng giác học những yêu cầu cao. Bằng cách đo đạc trong bầu trời nhờ những công cụ thiên văn đã được cải tiến, người ta nhận thấy rằng quan niệm của pơtôlêmê về địa tâm hệ (trái đất là trung tâm) là không đúng. Với tác phẩm khoa học “về sự quay của các thiên thể” mà trong đó nhật tâm hệ (mặt trời là trung tâm) được lập luận, nhà bác học Ba Lan Côpécníc (1473-1543) đã tạo nên bước quyết định cho sự phát triển của thiên văn học.

Việc trang bị đại bác cho quân đội củng đòi hỏi cấp bách sự phát triển cả ngành trắc địa và do đó của lượng giác học. Để bắn đại bác trúng mục tiêu, người ta cần những phương pháp đo chính xác những khoảng cách trên mặt đất.

Do những yêu cầu thực tế đó và cả những yêu cầu thực tế khác nữa, lượng giác học đã phát triển rất nhanh vào thế kỉ 15, 16 và 17. Iohanet phôn Gơmunden (1380-1442) và tiếp theo là Giêooc Phôn Poibắc (1423-1461) đã tiến hành tính bảng lượng giác mở rộng. Công trình phức tạp này cuối cùng đã được Rêghiômôntan (1436-1476) hoàn thành. Rêghiômôntan là một nhà toán học lỗi lạc của châu Âu thời đó. Trong công trình “năm cuốn sách về tất cả các tam giác” mà mãi đến năm 1533 mới được in, ông đã thâu tóm tất cả các phương pháp, định lí và bảng lượng giác mà thừi đó đã đạt được, Nhờ Rêghiômôntan lượng giác học ở châu Âu đã trở thành một khoa học nhất quán và về mặt nội dung toán học nó đã đạt tới trình độ như ngày nay.

Về sau những bảng lượng giác còn được cải tiến tốt hơn hẳn nhờ các nhà toán học Lêticút (1514-1576), Viét (1540-1603) và nhà thiên văn học lớn Iôhanet Kêpơle (1571-1630). Những tên gọi và kí hiệu mà hiện nay dùng trong lượng giác học thì mãi sau này mới được đưa vào. Về căn bản người ta sử dụng những tên gọi kí hiệu do nhà toán học thiên tài người Thụy Sĩ là Lêôna Owle (1707-1783) đã đặt ra:  là số đo độ dài nửa đường tròn đơn vị; a, b, c là kí hiệu các cạnh của một tam giác: sin, cos, tan, cot là kí hiệu những hàm số lượng giác.