I.
Lịch sử hình học
Định lý Thalès (thế kỷ VII-VI trước CN)
Thalès
Thalès |
Trước
Thales mỗi nhân viên đo đạc hoặc nhà hình học đều phải tìm những “kỹ xảo” để đo
các khoảng cách, các bề mặt v.v… Nhà triết học và toán học Hy lạp thuộc trường
phái Ioni là Thalès ở Milet (thế kỷ VII-VI) đã có ý tưởng tài tình đo các chiều
cao nhờ dùng bóng vào lúc mà “bóng dài bằng với vật”, nghĩa là vào lúc
các tia nắng chiếu xuyên một góc 45 độ. Để đo chiều cao của Kim tự tháp ông đã
cải tiến phương pháp của mình bằng cách sử dụng các tia nắng ở bất kỳ lúc nào.
Và ông đã có thể dừng lại ở đó, song toàn bộ giá trị công việc của ông là muốn
xuất phát từ thực nghiệm để xây dựng nên một lý thuyết: việc sử dụng các tia
sáng mặt trời đã cho phép ông nghiên cứu các đường thẳng song song và mối liên
hệ giữa độ dài hình chiếu và độ dài ban đầu. Rồi ông đã phát biểu một định lý
mà từ đó được gọi là Định lý Thalès: “Các đường thẳng song song chiếu những
đoạn dài tỷ lệ từ đường thẳng này lên đường thẳng khác”. Như vậy là ông đã
rút ra hình học từ cuốn sổ ghi chép các kỹ thuật bằng cách đưa vào đó quan điểm
suy diễn và chứng minh của toán học.
Định
lý Pythagore (thế kỷ VI trước CN)
Pythagore
Pythagore |
Xuất
phát từ các công trình của Thales về các đường thẳng song song và cũng với tinh
thần chứng minh, Pythagore, nhà triết học và toán học Hy Lạp ở thế kỷ VI trước
CN đã quan tâm đến hình chiếu vuông góc và đã chứng minh được định lý mang tên
ông. Định lý đó thiết lập được mối liên hệ giữa chiều dài các cạnh của một tam
giác vuông. Mối quan hệ đó đã được biết đến từ thời có các nhân viên đo đạc
ruộng đất, song chính Pythagore là người đầu tiên đã chứng minh được nó.
Tiên
đề Euclide (thế kỷ III trước CN)
Nhà
toán học Hy Lạp là Euclide (thế kỷ III trước CN) chủ yếu đã tổng hợp các công
trình của người đi trước trong tác phẩm “Nguyên lý” ông đã hệ thống các
kiến thức của thời đại mình, đồng thời chứng minh lại toàn bộ xuất phát từ năm
tiên đề được coi như đúng dù rằng không được chứng minh. Tiên đề cơ bản và quen
thuộc nhất là: “Qua một điểm bên ngoài một đường thẳng, chỉ có thể kẻ một
đường thẳng song song với đường thẳng đó”. Điều trái ngược với tiên đề này
đã được Aristotle xem xét trong tác phẩm “Những phép phân tích khác”,
song với một quan điểm hoàn toàn mang tính chất giáo huấn.
Euclide
Euclide |
Cho
đến thế kỷ XIX, các nhà toán học vẫn nghĩ rằng có thể chứng minh được tiên đề
đó. Bởi vậy ở thế kỷ thứ XVIII nhiều nhà toán học đã uổng công thử chứng minh
nó bằng phản chứng; đã xuất hiện hai điều phủ định khả dĩ: “Tồn tại ít nhất
một điểm qua đó không có một đường thẳng nào song song với đường thẳng đã cho
đi qua” và “Tồn tại ít nhất một điểm qua đó ít nhất có hai đường thẳng
song song khác nhau đi qua”. Việc giải thích rõ ràng hai điều ngược lại đó
đã làm nảy sinh hai loại hình học mới ở thế kỷ sau đó.
Mặt
cônic (thế kỷ III trước CN)
Perga 262-130 tr CN |
Các
mặt cônic đã được nghiên cứu theo những cách rất khác nhau qua các thời đại,
chính điều đó cho thấy rõ hình học đã tiến triển từ thời cổ đại đến thời chúng
ta như thế nào. Trong khảo luận của mình về các tiết diện cônic, A. de Perga
(khoảng 262-130 trước CN) đã nghiên cứu những mặt cắt khác nhau của một hình
nón. Khi đó ông đã chứng minh rằng có thể thu được các hình Parabol, Hypecbol
và Elip.
Vào
thế kỷ thứ XVII, Descartes đã thể hiện các mặt cônic dưới dạng các phương trình
và chỉ ra rằng có thể thu được các mặt cônic từ các phương trình bậc hai.
Descartes
B.
Pascal (1623-1662) đã tạo nên quan niệm hiện đại bằng cách tiếp cận mặt cônic
theo quan điểm giải tích. Ở thế kỷ XX, các mặt cônic là một phần của lý thuyết
tổng quát hơn về các dạng toàn phương.
Tọa
độ (thế kỷ XVII)
R. Descartes (1596-1650) |
Việc
sử dụng các số để xác định một cách đơn tính vị trí của một điểm trên một bề
mặt đã được biết đến từ thời Archimede (thế kỷ III trước CN). Nhưng mãi tới thế
kỷ XVII thì tọa độ mới được sử dụng một cách có hệ thống đối với các bài toán
hình học. Có truyền thuyết rằng nhà triết học và toán học người Pháp R.
Descartes (1596-1650) đã nảy ra ý tưởng về tọa độ khi ông nhìn thấy một con côn
trùng bay trước những ô kính cửa sổ của mình. Khám phá đó đã cho phép khảo sát
các bài toán hình học theo phương pháp đại số; rồi nhờ có nhà toán học Pháp P.
de Fermat (1601-1665) mà bắt đầu xuất hiện hình học giải tích trong đó các
phương trình và đường cong có liên quan với nhau.
Véctơ
(1798)
Nhà
hình học Đan Mạch C. Wessel, năm 1798 và J. R. Argand, năm 1806 đã viết hai báo
cáo về các số phức. Cả hai người đều có ý tưởng không chỉ biểu diễn các số phức
thông qua một điểm A trên mặt phẳng mà còn đồng nhất chúng với véctơ gốc ở O và
điểm mút A trong một hệ tọa độ Descartes trên mặt phẳng. Vậy là nảy sinh khái
niệm véctơ, như vậy tìm tổng của hai số phức tức là dựng tổng của hai véctơ là
những đối tượng hình học mà đối với chúng tồn tại các phép toán rất gần với các
phép toán quen thuộc trong tập hợp các số.
Cấu
trúc không gian của véctơ
Grassmann
(1844)
Grassmann (1844) |
Vào
thế kỷ XIX, khi nghiên cứu cấu trúc của các tập hợp vận dụng được các phép toán
thì người ta mới rõ rằng cấu trúc của tập hợp các véctơ trong mặt phẳng có thể
áp dụng được cho những tập hợp khác, như tập hợp các ma trận chẳng hạn. Vậy nên
trong “Lý thuyết mở rộng” của mình vào năm 1844, nhà toán học Đức H.
Grassmann (1809-1877) đã định nghĩa các không gian véctơ có số chiều lớn hơn
ba. Trong khi nghiên cứu các quatecnion, W. Hamilton (1805-1865) cũng đã xây
dựng nên những hệ thống véctơ đầu tiên. Những định nghĩa đã rất có ích cho vật
lý học khi xây dựng lý thuyết tương đối trong đó không thời gian được xem như
một không gian véctơ bốn chiều.
Hình
học phi Euclide (thế kỷ XVIII)
Vào
thế kỷ XVIII, G. G. Saccheri, J. H. Lambert, Taurinus, Reid và nhiều nhà toán
học khác đã thử gán các hệ quả logic cho những sự phủ định tiên đề Euclide,
nhưng họ đã không thực sự tin vào chuyện đó và đã không đi đến những lý thuyết
hoàn hảo. Vào đầu thế kỷ XIX, những lý thuyết đó bắt đầu hình thành và quy về
hai loại hình học khác nhau song đều khả dĩ và có thể xem xét cụ thể được.
Hình
học Hypecbolic (thế kỷ XIX)
N. I. Lobatchevski (1792-1856) |
Nhà toán học Hungari J. Bolyai (1802-1860) và nhà toán
học Nga N. I. Lobatchevski (1792-1856) đã xây dựng nên một loại hình học trong
đó mặt phẳng là một bề mặt Hypecbolic; để hình dung một bề mặt như thế, ta có
thể so sánh nó với một mặt yên ngựa.
Hình
học Eliptic (thế kỷ XIX)
Nhà
vật lý và toán học Đức C. F. Gauss (1777-1855) đã xây dựng một hình học, trong
đó mặt phẳng được xác định như bề mặt một hình cầu có bán kính vô hạn; có thể
hình dung được khái niệm đó khi so sánh với mặt nước, bởi vì Trái Đất là hình
cầu chứ không phải như Euclide đã tưởng. B. Riemann (1828-1866), người Đức, là
học trò của Gauss ở Gottingen, đã tiếp tục các công trình của Gauss và đã đề
nghị xét lại hình học cổ điển cho phép xem hình học Eliptic như một trường hợp
của một lý thuyết tổng quát hơn.
Định
nghĩa hình học (1872)
Klein
Những
công trình khác nhau ở đầu thế kỷ XIX về các loại hình học phi Euclide đã làm
nảy sinh những sự ham mê và những cuộc bút chiến rất mạnh mẽ; thực tế chúng đã
cách mạng hóa triết lý về các tri thức nhiều hơn là bản thân môn hình học.
Felix Klein (1849-1925) |
Bởi
thế cần phải thống nhất và sáng tạo ra một lý thuyết rộng hơn, trong đó những
thế giới hình học khác nhau có thể cùng tồn tại. Nhà toán học Đức Felix Klein
(1849-1925) trong bài phát biểu mở đầu Đại hội Erlangen (“Chương trình
Erlangen” năm 1872) của mình đã định nghĩa hình học như bộ môn nghiên cứu các
nhóm phép biến đổi khiến cho một số đối tượng hình học như đường trung tuyến
hoặc đường cao trở nên bất biến. Chú ý đến cấu trúc của những nhóm đó, Klein đã
gộp các loại hình học vào một lý thuyết đại số. Như vậy, là vào đầu thế kỷ XX
không còn “những toán học” nữa, mà chỉ có “toán học” trong đó đại số và hình
học chỉ là một.
Phỏng
đoán bốn màu (1976)
Năm
1976, K. Appel, W. Haken và J. Koch ở Đại học Illinois (Mỹ) đã đưa ra sự chứng
minh về sự phỏng đoán bốn màu. Phỏng đoán này khẳng định rằng, toàn bộ bản đồ
địa lý được vẽ trên một mặt phẳng hay một mặt cầu, mà mỗi lớp chiếm riêng một
khoảnh (không có thuộc địa cũng không có nước khác lọt vào giữa), có thể được
tô chỉ bằng bồn màu sao cho hai nước khác nhau có các màu khác nhau. Việc chứng
minh điều phỏng đoán đó đã được thực hiện nhờ tính toán 12.000 giờ trên các máy
tính mạnh nhất; vậy nên đầu óc con người không thể kiểm chứng được nó và nó đặt
ra những câu hỏi về “tính toán học” của nó. Nhất là nó đã kích thích các nghiên
cứu về các lý thuyết đồ thị hiện đang chiếm một vị trí lớn trong giải tích tổ
hợp.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét