Lịch sử số học

      I.Khái niệm số học  

Số học là một phân nhánh toán học lâu đời   nhất và sơ cấp nhất, được hầu hết mọi người thường xuyên sử dụng từ những công việc thường nhật cho đến các tính toán khoa học và kinh doanh cao cấp, qua các phép tính cộng, trừ, nhân, chia. Người ta thường dùng thuật ngữ này để chỉ một phân nhánh toán học chú trọng đến các thuộc tính sơ cấp của một số phép tính  trên các con số

Các bảng số học dành cho trẻ em, Lausanne 1835

II. Lịch sử số học

  1.Xương ishango

Vào thời tiền sử, người

ta sử dụng số học qua

một số đồ vật để chỉ khái

niệm cộng và trừ, nổi tiếng

nhất là xương Ishango

ở Trung Phi, có từ những

năm từ 20.000 đến 18.000

năm trước công nguyên.

. Đốt xương Ishango, còn gọi là cây gậy Ishango, có niên đại gần 23.000 năm trước kỷ nguyên chúng ta. Đây là bằng chứng cổ xưa nhất về ứng dụng môn toán học trong lịch sử loài người. Khúc xương dài 10,2 cm của một loài động vật chưa xác định được đặc tính. Ở một đầu đoạn xương được gắn một mẩu thạch anh.Nhiều vết khắc trên xương được tập hợp một cách có tổ chức, phân chia thành các nhóm ở trên 3 cột. Mẩu xương đều là những đồ vật toán học của một tộc người không biết tính toán hệ thập phân như con người hiện đại, nhưng họ lại biết dựa trên nền cơ bản là số 6 và số 10. Các nhà khoa học đều nhất trí rằng đây là một phép đếm điển hình ở châu Phi.

 Jean de Heinzelin là người đầu tiên coi vật này như một giả tưởng lý thú về lịch sử môn toán học của nhân loại. Ông đồng hóa nó như một trò chơi số học và đưa ra một trật tự võ đoán cho các cột dấu khác nhau. Cột đầu tiên là a, cột thứ 2 là b và cột thứ 3 là c và đưa ra lập luận có sức thuyết phục hơn các giả thiết trước đó.

Tác giả của phát hiện quan trọng này cho rằng cột a tương thích với một hệ số đếm cơ bản 10, xuất phát từ việc các dấu khắc trên đó được tập hợp lại giống như dãy số 10 + 1, 10 – 1, còn cột c tương ứng với hệ số đếm cơ bản 20 theo dãy số 20 + 1, 20 – 1 .

    Ông cũng thừa nhận

    ở cột b bản viết theo

    trật tự các con số lẻ

    đầu tiên giữa số 10

    và 20 gồm 11, 13

    và 17, 19.

     Cuối cùng, cột (c) dường như

minh hoạ cho phương pháp nhân

chia với 2, phượng pháp này được

sử dụng ở một giai đoạn gần chúng

ta nhất là phép nhân của người Ai

Cập: 3 x 2 = 6 và 4 x 2 = 8.

Các con số ở 2 cột

(a) và (c) đều là số lẻ

Các con số ở 2 cột này cộng lại

bằng 60 và những con số ở cột giữa

(b) cộng lại bằng 48. 2 kết quả này

đều là bội của 12,điều này chứng tỏ

đây là một chỉnh hợp phép nhân và

chia.

2.Số học Babilon

       Những người Babylon rõ ràng đã có những kiến thức khá vững về gần như mọi lĩnh vực của số học sơ cấp từ năm 1800 TCN, dù các sử gia chỉ có thể đoán được điều này qua các phương pháp được dùng để tính ra kết quả số học - ví dụ như những miếng đất sét

            Plimpton 322 (ảnh) dường như chứa các ký tự thể hiện việc tính toán theo định lý Pithago là bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh của tam giác vuông, giống như các số tương ứng là 3, 4, 5. 

vbằng tổng bình phương hai cạnh của tam giác vuông, giống như các số tương ứng là 3, 4, 5. 

Ngoài ra họ biết các phép tính bình phương, khai căn, số pi...

      Người Babilon đã lập ra các bảng giá trị. Người ta tìm thấy những bảng bình phương của các số đến 59 bảng lập phương đến 32 và bảng giá trị của biểu thức n2 + n3

       Người Babilon dùng bảng bình phương và các công thức

 để làm phép nhân

     

     Khi thực hiện phép chia  a/b  người Babilon quy về phép nhân

                              và dùng bảng nghịch đảo

Con số PI

 Người Ba-bi-lôn tính được con số Pi bằng cách so sánh chu vi của một vòng tròn với đa giác nội tiếp trong vòng tròn đó, bằng 3 lần đường kính vòng tròn. Họ tính phỏng chừng:

 Pi = 3 + 1/8 (tức là 3,125)

Archimède tính được số Pi = 3,142 với độ chính xác là 1/1000. Công thức là:

       3 + 10/71 < Pi < 3 + 1/7

3.Số học Ai Cập

       Toán học Rhind của

 người Ai Cập (có từ Cuộn giấy khoảng 1650

TCN, nhưng rõ ràng là chép lại từ

văn bản khoảng 1850 TCN) cho

thấy bằng chứng về các phép

 tính cộng, trừ, nhân, và chia

trong hệ phân số đơn vị.

3.1.Phép nhân & phép chia

     Đối với phép nhân và phép chia,người Ai Cập đã thực hiện theo một dãy phép nhân đôi

   vd để tìm tích của  26 và 33 họ làm như sau

                                                                                                                                                                                  

             1       33

            2       66     *     Vì 26=16 + 8 +2 cộng các bội tương ứng

            4       132             (các số có đánh dấu) ta có kết quả là 858

            8        264   *

            16      528   *

            ----    -----

             26      585

         Một ví dụ khác về phép chia, chẳng hạn ta chia 753 cho 26. Ta cứ nhân đôi số chia 26 cho đến lúc nếu nhân đôi nữa sẽ lớn hơn số bị chia 753.Quá trình chia như sau

                                             1   26                                       

                   2    52                  Vì 753=416+208+104+25

              *   4    104              Cộng các số có đánh dấu bên cạnh sẽ

              *   8     208                có thương là 28 số dư là 25

             *   16    416

                 -----

                   28

3.2 Giải phương trình                   

         Người Ai Cập đã đưa ra một số quy tắc giải phương trình khá độc đáo, gọi là quy tắc đặt sai.

 

Vd.Giải phương trình

Ta gắn x = 7 (sao cho thuận tiện )thì

Như vậy nghiệm phương trình sẽ là:

    

 Về phân số thì biểu thị mọi phân số là tổng các phân số đơn vị, tức là các phân số có tử số là đơn vị (bảng biểu diễn các số 2/n với n là số lẻ từ 3 đến 101 của người Ai Cập tr.18 giáo trình lịch sử toán đại học)

4.Số học Ấn Độ

 Vào thời điểm đó, các phép tính số học còn khá rắc rối; khác với phương pháp mà chúng ta dùng hiện nay được gọi là "Phương pháp của người Ấn" (tiếng Latinh Modus Indorum). Số học Ấn Độ đơn giản hơn nhiều so với số học Hy Lạp vì hệ số của Ấn Độ đơn giản hơn, có con số không và giá trị theo vị trí con số.

       4.1 Phép cộng

  Phép cộng Ấn Độ thời cổ có lẽ được thực hiện từ trái sang phải thay vì từ phải sang trái như chúng ta làm ngày nay. Ví dụ như xem phép cộng 345 với 488 . Các số này có lẽ được viết số nọ dưới số kia xuống phía dưới một chút ở bản tính như hình minh hoạ dưới đây :

8 3

7 2 3

3 4 5

4 8 8

Người làm tính sẽ nói 3+4=7 và viết 7 lên trên đầu cột bên trái. Tiếp đó, 4+8=12 , điều này sẽ đổi số 7 thành số 8 và theo sau là số 2. Vì vậy số 7 phải xoá đi và viết vào đó là số 82. Trong hình minh hoạ ở trên chúng ta đã xoá số 7 và viết số 8 lên trên đó. Rồi đến 5+8=13, điều này phải đổi 2 thành 3 và theo sau là một số 3 khác. Và mọi thứ lại được điều chỉnh bằng cách xoá nhanh bằng ngón tay và kết quả cuối cùng là 833 xuất hiện phía trên của bàn tính. Đến lúc đó thì các số 345 và 488 có thể xoá đi được và bản trống còn lại sẽ được dùng tiếp.

4.2 Phép nhân

 Nhiều phương pháp được dùng cho phép nhân, ví dụ 569 nhân với 5 có minh hoạ như sau :

    8 4

 2 5 0 5

   5 6 9 5

Trên bản, viết xuống phía dưới một chữ số 569 tiếp theo là số nhân 5 trên cùng một hàng. Rồi nhân 5.5=25 nên 25 được viết ngay trên số 569. Tiếp đó, 5.6=30, đổi 5 trong 25 thành 8 và theo sau là sô 0. Rồi 5.9=45, điều này đổi số 0 thành số 4 và tiếp theo là số 5. Tích cuối cùng 2845 xuất hiện phía trên của bản tính .

Một phép nhân phức tạp hơn, chẳng hạn 135 nhân cho 12, có thể thực hiện bằng cách như trên : đầu tiên, tìm 135 . 4 = 540, sau đó tìm 540 . 3= 1620 hoặc bằng cách cộng 135.10=1350 với 135.2=270 ta được 1620.

Một phương pháp làm tính nhân khác được biết là của người Á rập và có lẽ có được từ người Ấn Độ, nó rất giống với cách ta làm hiện nay được trình bày trong hình minh hoạ cho việc tìm tích của hai số 135 với 12. Sơ đồ được vẽ ra và các phép cộng được tiến hành theo đường chéo

Vào thời Trung Cổ, số học là một trong bảy môn nghệ thuật tự do được dạy trong các trường đại học. Các giải thuật hiện đại dành cho số học (để tính tay lẫn tính máy) phải nhờ đến sự ra đời của số Ả Rập và dấu thập phân. Môn số học dựa trên các con số Ả Rập đã được phát triển bởi những nhà toán học Ấn Độ vĩ đại Aryabhatta, Brahmagupta và Bhāskara I. Aryabhatta đã thử đặt vị trí ký hiệu số ở nhiều vị trí khác nhau và Brahmagupta thêm số không vào hệ số Ấn Độ. Brahmagupta đã phát triển các phép nhân, chia, cộng và trừ hiện đại dựa trên những con số Ả Rập. Dù ngày nay nó chỉ được xem là sơ cấp, sự đơn giản của nó là thành quả tích tụ của hàng ngàn năm phát triển của toán học